N-esfera

En matemáticas, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n+1}$ , denotada en general como $\mathbb {S} ^{n}$ . Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.

Desde un punto de vista analítico, una $n$ -esfera es un espacio topológico que es homeomorfo a una $n$ -esfera estándar, que es el conjunto de puntos en un espacio euclídeo $(n +1)$ -dimensional que se encuentran a una distancia constante $r$ respecto a un punto fijo, llamado centro. Cuando la esfera tiene un radio unidad, es habitual llamarla $n$ -esfera unidad, o simplemente $n$ -esfera por brevedad. En términos de la norma estándar, una $n$ -esfera se define como

S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\},

y una $n$ -esfera de radio $r$ se puede definir como

S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}.

La 0-esfera es un par de puntos sobre una recta a una unidad de distancia del origen, la 1-esfera es una circunferencia en el plano y la 2-esfera es una esfera ordinaria dentro del espacio tridimensional.

La dimensión de una $n$ -esfera es $n$ , y no debe confundirse con la dimensión $(n +1)$ del espacio euclídeo en el que queda naturalmente embebida. Una $n$ -esfera es la superficie o límite de una bola $(n +1)$ dimensional.

En particular:

El par de puntos en los extremos de un segmento (unidimensional) es una 0-esfera
Un circunferencia, que es el contorno unidimensional de un círculo (bidimensional), es una 1-esfera
La superficie bidimensional de una bola (tridimensional) en un espacio tridimensional es una 2-esfera, a menudo simplemente llamada esfera
La frontera tridimensional de una 4-bola (cuatro dimensiones) en el espacio euclídeo tetradimensional, es un 3-esfera, también conocida como glomo
El límite $(n -1)$ -dimensional de una $n$ -bola ( $n$ -dimensional) es una $(n -1)$ -esfera.

Para $n \geq2$ , las $n$ -esferas que son variedades diferenciables pueden caracterizarse (hasta un difeomorfismo) como variedades $n$ -dimensionales conexas de curvatura constante y positiva. Las $n$ -esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, se pueden construir pegando dos espacios euclídeos $n$ -dimensionales, identificando el límite de un $n$ -cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de una $(n -1)$ -esfera. La 1-esfera es la 1-variedad que es una circunferencia, que no es simplemente conexa. La 0-esfera es la 0-variedad que consta de dos puntos, que ni siquiera es conexa.